Перейти к содержанию

Найдите точку минимума функции y=(12−5x)‌sin‌x−5‌cos‌x−10, принадлежащую интервалу (π2;π)

Найдите точку минимума функции $y=(12-5x)sin x-5cos x-10$, принадлежащую интервалу $({π} / {2};π)$.


Отметим, что функция дифференцируема на заданном интервале. Найдём стационарные точки на указанном интервале и выберем ту из них, в которой производная меняет знак с «минуса» на «плюс». 1. Находим $y^′$, пользуясь правилами дифференцирования, формулами производной произведения функций и производной линейной и тригонометрических функций. $y^′=(12-5x)^′⋅ sin x+(sin x)^′⋅(12-5x)+5sin x$, $y^′=-5sin x+cos x(12-5x)+5sin x=-cos x(5x-12)$, $y^′=-cos x(5x-12)$. 2. Решаем уравнение $y^′=0$. Так как $cos x<0$ на заданном интервале, то $5x-12=0$, $x=2{,}4$. ${π} / {2≈} 1{,} 57$, а $π ≈ 3{,} 14$, поэтому $2{,}4∈ ({π} / {2};π)$. Получили одну стационарную точку на заданном интервале. 3. $cos x<0$ на заданном интервале, поэтому знак производной совпадает со знаком функции $y_1=5x-12$. Эта функция является возрастающей, поэтому она имеет знак «минус» до точки $x=2{,}4$ и знак «плюс» после неё. Тем самым, точка $x=2{,}4$ будет точкой минимума.

Ответ: 2.4