Перейти к содержанию

Найдите наименьшее значение функции y=−4x−4‌cos‌x+5 на отрезке [−π;0]

Найдите наименьшее значение функции $y=-4x-4cos x+5$ на отрезке $[- {π} ;0]$.


Заметим, что заданная функция непрерывна на отрезке $[-π; 0]$ и дифференцируема на интервале $(-π; 0)$. Наименьшее её значение на отрезке $[-π; 0]$ равно наименьшему из всех значений функции в стационарных точках интервала $(-π; 0)$ и концах отрезка $[-π; 0]$.

1. Находим $y′$, пользуясь правилами дифференцирования и формулами производных тригонометрических функций:

$y′ = -4 + 4 sin x = -4(1 — sin x), y′ = -4(1 — sin x)$.

2. Заметим, что $sin x < 0$ на интервале $(-π; 0)$. Поэтому $1 - sin x > 1$ и $-4(1 — sin x) < 0$. Следовательно, на нём $y′ < 0$ и функция $y=-4x - 4 cos x + 5$ убывает.

3. Наименьшее значение функции будет на правом конце промежутка, то есть в точке $x = 0$.

$y(0) = -4 · 0 — 4 cos 0 + 5 = -4 + 5 = 1$.

Ответ: 1