Найдите точку минимума функции $y=x^2-21x+6+55ln x$.
Областью определения функции является промежуток $(0; +∞)$, на котором она дифференцируема. Найдём стационарные точки и выберем ту из них, при переходе через которую, производная меняет знак с «минуса» на «плюс».
1. Находим $y′$, пользуясь правилами дифференцирования и формулами производной логарифмической и степенной функций.
$y′ = 2x − 21 + {55}/{x}, y′ = {2x^2-21x+55}/{x}$.
2. Решаем уравнение $y′ = 0; 2x^2 -21x +55 = 0. x_{1,2} = {21 ± √{441 — 440}}/{4} = {21 ± 1}/{4}. x_1 = 5, x_2 = 5.5$. Получаем две стационарные точки.
3. Знак производной совпадает со знаком квадратного трёхчлена $2x^2 -21x+55$. Графиком этого трёхчлена является парабола, ветви которой направлены вверх и корнями являются числа $x_1=5$ и $x_2=5.5$.
Поэтому при $x < 5$ производная имеет знак «плюс», знак «минус» при $5 < x < 5.5$, и знак «плюс» при $x > 5.5$.
| (0;5) | 5 | (5; 5.5) | 5.5 | (5.5;+∞) | |
| y′ | + | 0 | — | 0 | + |
| y | ↗ | ↘ | ↗ |
При переходе через точку $5.5$ производная меняет знак с «минуса» на «плюс». Поэтому эта точка и будет точкой минимума.
Ответ: 5.5