Найдите точку максимума функции $y=2ln x-√ {x}-17$.
Областью определения этой функции является интервал $(0; +∞)$, в каждой точке которого она дифференцируема. Найдём стационарные точки в области определения и выберем ту из них, проходя через которую, производная меняет знак с «плюса» на «минус».
1. Находим $y′$, пользуясь правилами дифференцирования, формулами производных степенной и логарифмической функций:
$y′ = {2}/{x} — {1}/{2√x} = {4 -√x}/{2x}$.
2. Решаем уравнение $y′ = 0; 4 — √x = 0. √x = 4, x = 16$.
Получили одну стационарную точку.
3. Так как $x > 0$ и $√x > 0$ в области определения, то знак производной совпадает со знаком функции $y_1 = 4 — √x$. Она обращается в ноль в единственной точке $x = 16$.
Находим знак этой функции при $x < 16$ и $x > 16$. Для этого достаточно найти её значения хотя бы в одной точке каждого из указанных промежутков: $y_1 (1) = 4 — √1 = 3 > 0$, а $y_1 (25) = 4 — √{25} = -1 < 0$
Тем самым, производная меняет знак с «плюса» на «минус» при переходе через точку $x = 16$, которая и будет точкой максимума.
Ответ: 16