Найдите наибольшее значение функции y=ln(x+7)3−3x на отрезке [−6,5;−4]

Областью определения функции является промежуток $(-7;+∞ )$, на котором она дифференцируема

Отрезок $[-6{,}5 ;-4]$ принадлежит области определения

Отметим, что по свойству логарифмов в области определения функции выполняется равенство $ln(x+7)^3=3ln(x+7)$, поэтому заданная функция может быть представлена в виде $y=3ln(x+7)-3x$

1. Находим $y^′ $, пользуясь правилами дифференцирования и формулами производной степенной и логарифмической функций: $y^′={3} / {x+7}-3={3-3x-21} / {x+7}={-3x-18} / {x+7}={-3(x+6)} / {x+7}$, $y^′={-3(x+6)} / {x+7}$

2. Заметим, что $y^′ =0$ при $x=-6$. Получаем единственную стационарную точку

3. Так как $x+7>0$ в области определения, то $y^′ >0$ при $-6,5<0$ при $-6 Следовательно, эта точка является точкой максимума и в ней функция достигает наибольшего значения

$y(-6)=3ln(-6+7)-3⋅ (-6)=18$, так как $ln 1=0$.

Ответ: 18