Найдите наименьшее значение функции $y=-2ln(x+3)^5+10x$ на отрезке $[-2{,}5 ;-1]$.
Областью определения функции является интервал $(-3; +∞)$, на котором она дифференцируема. Отрезок $[-2.5; -1]$ принадлежит области определения.
Отметим, что по свойству логарифмов $ln(x + 3)^5 = 5 ln(x + 3)$, поэтому заданная функция имеет вид $y = -10 ln(x + 3) + 10x$.
1. Находим $y′$, пользуясь правилами дифференцирования и формулами производной степенной и логарифмической функций:
$y′ = {-10}/{x+3} + 10 = {-10 + 10x + 30}/{x + 3} = {10 x + 20}/{x + 3} = {10(x + 2)}/{x + 3}, y′ = {10(x + 2)}/{x + 3}$.
2. Заметим, что $y′ = 0$ при $x = -2$. Получаем единственную стационарную точку. $-2 ∈ [-2.5; -1]$.
3. Так как $x + 3 > 0$ в области определения, то $y′ < 0$ при $-2.5 < x < -2, y′ > 0$ при $-2 < x < -1$. Производная меняет знак с «минуса» на «плюс» при переходе через точку $x = -2$. Следовательно, эта точка является точкой минимума и в ней функция достигает наименьшего значения.
$y(-2) = -10 ln(-2 + 3) + 10 · (-2) = -20$, так как $ln 1 = 0$.
Ответ: -20