Перейти к содержанию

Например, имея кучу из 8 камней, за один ход можно получить кучу из 10 или 16 камней

Два игрока, Паша и Вова, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Паша. За один ход игрок может добавить в кучу два камня или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, имея кучу из 8 камней, за один ход можно получить кучу из 10 или 16 камней. У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 32. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 32 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 28.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока— значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника.

Выполните следующие задания. Во всех случаях обоснуйте свой ответ. Задание 1. а) Укажите все такие значения числа S, при которых Паша может выиграть за один ход. Обоснуйте, что найдены все нужные значения S, и укажите выигрышный ход для каждого указанного значения S. б) Укажите такое значение S, при котором Паша не может выиграть за один ход, но при любом ходе Паши Вова может выиграть своим первым ходом. Опишите выигрышную стратегию Вовы.

Задание 2. Укажите два таких значения S, при которых у Паши есть выигрышная стратегия, причём

—Паша не может выиграть за один ход;

—Паша может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Вова.

Для каждого указанного значения S опишите выигрышную стратегию Паши.

Задание 3. Укажите значение S, при котором

— у Вовы есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Паши;

—у Вовы нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Для указанного значения S опишите выигрышную стратегию Вовы.

Постройте дерево всех партий, возможных при этой выигрышной стратегии Вовы (в виде рисунка или таблицы). На рёбрах дерева указывайте, кто делает ход, в узлах—количество камней в куче.


Пусть S —исходное количество камней в куче.

Задание 1. a) Паша может выиграть первым ходом, если S ∈ {16, 17, . . . , 28}.

Во всех случаях ему нужно удвоить количество камней в куче. Если количество камней в куче меньше 16, то за один ход нельзя получить кучу, в которой больше 30 камней.

б) Вова может выиграть первым ходом (как бы ни играл Паша), если исходно в куче будет S = 14 камней. Тогда после первого хода Паши в куче будет или 16 камней, или 28 камней. В любом случае Вове достаточно удвоить количество камней и выиграть своим первым ходом.

Задание 2. Возможные значения S: 12 и 7. В этих случаях Паша, очевидно, не может выиграть первым ходом. Однако, добавив в кучу с 12 камнями 2 камня или удвоив кучу из 7 камней, он может получить кучу из 14 камней. Эта позиция разобрана в п. 1б.

Если в куче 14 камней, то игрок, который будет ходить (теперь это Вова), выиграть не может, а его противник (то есть Паша) следующим ходом выиграет.

Задание 3. Возможное значение S: 10.После первого хода Паши в куче будет или 12 камней, или 20 камней. Если в куче станет 20 камней, Вова удвоит количество камней и выиграет первым ходом. Ситуация, когда в куче 12 камней, разобрана в п. 2. В этой ситуации игрок, который будет ходить (теперь это Вова), выигрывает своим вторым ходом. В таблице изображено дерево возможных партий при описанной стратегии Вовы. Заключительные позиции (в них выигрывает Вова) подчёркнуты.

И. п. Положение после очередных ходов
1-й ход Паши
(разобраны все ходы)
1-й ход Вовы
(только ход по стратегии)
2-й ход Паши
(разобраны все ходы)
2-й ход Вовы
(только ход по стратегии)
10 10 + 2 = 12 12 + 2 = 14 14 + 2 = 16 16 · 2 = 32
14 · 2 = 28 28 · 2 = 56
10 · 2 = 20 20 · 2 = 40