Даны множества P = {5, 8, 19, 24, 42, 124}, Q = {3, 8, 12, 24, 64, 127, 211} и A. Элементами множества являются натуральные числа. Известно, что выражение
((x ∈ A) → ¬((x ∈ P) ∨ (x ∈ A))) ∨ ¬((x ∈ Q) → ¬(x ∈ P)).
истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной x. Определите наибольшее возможное значение суммы элементов множества A.
Обозначим $P↖{∼}$: (x ∈ P); $Q↖{∼}$: (x ∈ Q); $A↖{∼}$: (x ∈ A).
Перепишем исходное выражение: ($A↖{∼}$ → ¬($P↖{∼}$ ∨ $A↖{∼}$)) ∨ ¬($Q↖{∼}$ → ¬ $P↖{∼}$).
На основании законов алгебры логики преобразуем это выражение.
($A↖{∼}$ → ¬($P↖{∼}$ ∨ $A↖{∼}$)) ∨ ¬($Q↖{∼}$ → ¬ $P↖{∼}$) ≡
≡ (¬ $A↖{∼}$ ∨ ¬($P↖{∼}$ ∨ $A↖{∼}$)) ∨ ¬(¬$Q↖{∼}$ ∨ ¬ $P↖{∼}$) ≡
≡ ¬ $A↖{∼}$ ∨ (¬ $P↖{∼}$ ∧ ¬ $A↖{∼}$) ∨ ($Q↖{∼}$ ∧ $P↖{∼}$) ≡
≡ ¬ $A↖{∼}$ ∨ ($Q↖{∼}$ ∧ $P↖{∼}$)
Возвращаясь к исходным выражениям, получим: ((x ∉ A) ∨ ((x ∈ Q)) ∧ (x ∈ P)).
Логическое выражение (x ∈ Q)) ∧ (x ∈ P) истинно на промежутке на множестве Q ∩ P = {8, 24}. Согласно условию, нужно выбрать такое множество A, что для любого целого x будет истинным выражение (x ∉ A) ∨ x ∈ {8, 24}. При этом множество A должно содержать наибольшее число элементов.
Таким множеством A является {8, 24}.Сумма элементов этого множества равна 32.
Ответ: 32