Пусть P — множество всех 8-битовых цепочек, начинающихся с 10, Q — множество всех 8-битовых цепочек, оканчивающихся на 0, а A — некоторое множество произвольных 8-битовых цепочек. Сколько элементов содержит минимальное множество A, при котором для любой 8-битовой цепочки x истинно выражение: (¬(x ∈ P) ∧ (x ∈ Q)) → (x ∈ A)?
В исходном выражении выразим импликацию через дизъюнкцию: ¬(¬(x ∈ P) ∧ (x ∈ Q)) ∨ (x ∈ A) ≡ (x ∈ P) ∨ ¬(x ∈ Q) ∨ (x ∈ A).
Множество P состоит из 8-битовых цепочек, начинающихся с 10. Следовательно, на оставшихся 6 местах в этих цепочках стоят произвольные наборы нулей и единиц. Всего таких наборов 26 = 64. Значит, множество P состоит из 64 элементов.
Так как множество Q состоит из 8-битовых цепочек, оканчивающихся на 0, то цепочки, удовлетворяющие условию ¬(x ∈ Q), оканчиваются на 1. На первых 7 местах в этих цепочках стоят произвольные наборы нулей и единиц. Всего таких наборов 27 = 128. Значит, количество цепочек, удовлетворяющих условию ¬(x ∈ Q), равно 128.
Количество цепочек, удовлетворяющих условию (x ∈ P) ∨ ¬(x ∈ Q), можно найти как сумму цепочек множеств P и Q за вычетом цепочек, которые начинаются на 10 и оканчиваются 1. В таких цепочках на оставшихся пяти местах может стоять произвольный набор нулей и единиц. Следовательно, всего таких цепочек 25 = 32.
Итак, количество цепочек, удовлетворяющих условию, равно 64 + 128 − 32 = 160.
По условию требуется найти наименьшее количество элементов множества A, при котором истинно исходное выражение. Очевидно, множество A должно содержать только те цепочки, которые не удовлетворяют условию (x ∈ P) ∨ ¬(x ∈ Q). Так как всего 8-битовых цепочек 28 = 256, то множество A должно содержать 256 − 160 = 96 цепочек.
Ответ: 96