Перейти к содержанию

Три одинаковых груза массами 2 кг каждый соединены нитью, перекинутой через блок так, как показано на рисунке 320

Три одинаковых груза массами 2 кг каждый соединены нитью, перекинутой через блок так, как показано на рисунке 320. Масса груза 4 равна 5 кг. Определите ускорение системы грузов, если коэффициент трения грузов о плоскость 0,1, а плоскость составляет с горизонтом угол 30◦. Нити невесомые, нерастяжимые. Ответ округлить до сотых.


Дано:

$m_1=m_2=m_3=m=2$кг

$m_4=5$кг

$μ=0.1$

$g=10м/с^2$

$a-?$

Решение:

Учитывая, что нити невесомые и не растяжимые, то ускорения ${a_1}↖{→}={a_2}↖{→}={a}↖{→}$ и силы натяжения нитей: $T_{12}=T_{21};T_{23}=T_{32};T_{34}=T_{43}$(1).

Запишем второй закон Ньютона для каждого груза:

1 груз: $Ох_1$: $ma=T_{12}-mgsinα-F_{тр_1}$, где $F_{тр_1}=μN_1$; $Oy_1$: $O=N_1-mgcosα$, откуда $N_1=mgcosα; ma=T_{12}-mgsinα-μmgcosα$(2).

2 груз: $Ох_1$: $ma=T_{23}-T_{21}-mgsinα-μmgcosα$(3); $Oy_1$: $O=N_2-mgcosα$, откуда $F_{тр_2}=μN_2=mgcosα$.

3 груз: $Ох_1$: $ma=T_{34}-T_{32}-mgsinα-μmgcosα$(4); $Oy_1$: $O=N_3-mgcosα$, откуда $F_{тр_3}=μN_3=mgcosα$.

4 груз: $Oy_2$: $m_4a=m_4g-T_{43}$(5).

Из (2) выразим $T_{12}$: $T_{12}=ma+mgsinα+μmgcosα$(6).

Подставим (6) в (3), учитывая, что $T_{12}=T_{21}$: $ma=T_{23}-ma-mgsinα-μmgcosα-mgsinα-μmgcosα; T_{23}=2ma+2mgsinα+2μmgcosα$(7).

Подставим (7) в (4), учитывая, что $T_{23}=T_{32}$: $ma=T_{34}-2ma-2mgsinα-2μmgcosα-mgsinα-μmgcosα; T_{34}=3ma+3mgsinα+3μmgcosα$(8).

Подставим (8) в (5), учитывая, что $T_{34}=T_{43}$: $m_4a=m_4g-3ma-3mgsinα-3μmgcosα; m_4a+3ma=m_4g-3mgsinα-3μmgcosα$.

$a(m_4+3m)=m_4g-3mgsinα-3μmgcosα$

$a={m_4g-3mgsinα-3μmgcosα}/{(m_4+3m)}$(9)

Подставим числовые значения в (9) и найдем ускорение $a$: $a={5·10-3·2·10·0.5-3·0.1·2·10·0.866}/{5+3·2}={50-30-5.196}/{11}={14.804}/{11}=1.345м/с^2≈1.35м/с^2$.

Ответ: 1.35