Перейти к содержанию

Горизонтально расположенный закрытый цилиндрический сосуд длиной 0,6 м с гладкими стенками, разделённый на две части тонким подвижным теплонепроницаемым поршнем, заполнен идеальным газом

Горизонтально расположенный закрытый цилиндрический сосуд длиной 0,6 м с гладкими стенками, разделённый на две части тонким подвижным теплонепроницаемым поршнем, заполнен идеальным газом. В начальный момент объём левой части вдвое больше объёма правой, а температура в обеих частях одинакова. Температуру газа в правой части увеличили вдвое, а в левой поддерживают постоянной. Найдите перемещение поршня. Ответ выразите в (см).


Дано:

$L = 0.6м$

$V_1 = 2V_2$

$T_l = T_2$

$T_2*=2Т_2$

$T_1*=T_1$

$∆l-?$

Решение:

Приведем рисунок для решения задачи, причем условимся писать все величины, соответствующие начальному моменту времени, писать без «звездочки», а конечному — со «звездочкой».

Так как поршень и в начальный, и в конечный момент времени будет находиться в равновесии, то можно записать первый закон Ньютона и два уравнения Клапейрона-Менделеева.

${tablep_1S=p_2S; p_1V_1=υ_1RT_1; p_2V_2=υ_2RT_2;$

Из первой строки системы видно, что давления газов равны, те. $р_1 = р_2 = р$. Зная, что по условию $V_1=2V_2$ и $T_1= T_2 = Т$, получим:

${table2pV_2=υ_1RT; pV_2=υ_2RT;$

Поделив верхнее выражение на нижнее, имеем: ${υ_1}/{υ_2}=2$.

Отлично, мы нашли отношение количества молей газов в левой и правой части сосуда. Теперь повторим то же самое и для конечного момента времени, те. опять запишем первый закон Ньютона и два уравнения Клапейрона-Менделеева:

${tablep_1*S=p_2*S; p_1*V_1*=υ_1RT_1*; p_2*V_2*=υ_2RT_2*;$

Опять видно, что $р_1* =р_2* = р*$. Теперь разберемся с температурами. Так как $Т_2* = 2Т_2 = 2Т$ и $Т_1*=Т_1=Т$, то очевидно, что их отношение равно ${Т_2*}/{Т_1*}=2$. Тогда:

${tablep_1*V_1*=υ_1RT; p*V_2*=2υ_2RT;$

Поделим нижнее выражение на верхнее: ${V_2*}/{V_1*}=2{υ_2}/{υ_1}=2·{1}/{2}=1$

Значит поршень в конце разделит сосуд на две равные части. Для того, чтобы узнать на сколько сместиться поршень, следует заметить такой факт: ${L}/{l_1}={V}/{V_1}$.

В задаче считается, что поршень имеет нулевую толщину. В этой формуле $V$ — это общий объем сосуда, равный $V = V_1 + V_2$, тогда: ${L}/{l_1}={V}/{V_1}={V_1+V_2}/{V_1}=1+{V_2}/{V_1}=1+{1}/{2}={3}/{2}⇒l_1={2}/{3}L$

Проделаем такие же действия для конечного момента: ${L}/{l_1*}={V}/{V_1*}={V_1*+V_2*}/{V_1*}=1+{V_2*}/{V_1*}=1+1=2⇒l_1*={1}/{2}L$

Перемещение поршня можно найти по формуле: $∆l=l_1-l_1*={2}/{3}L-{1}/{2}L={1}/{6}L; ∆l={0.6}/{6}=0.1м$.

Ответ: 10